专题简介
染色问题：把图形/格子/棋盘按某种规则染成两种或多种颜色，分析是否存在某种性质的子结构。
奇偶染色：按（行号+列号）的奇偶性染黑白两色，相邻格子颜色不同。
用途：证明不可能性问题（如马能否遍历所有格子且不重复）。
常用技巧
【奇偶染色】国际象棋棋盘染色，相邻格不同色。
【找不变量】染色后，某种颜色格子的数量之差是不变的。
【反证法】假设存在某种走法/分法，推出矛盾。
【配对】把同色格子配对，分析是否能完全配对。
【多色染色】不止两种颜色，按模 3、模 4 等染色。
常见易错点
× 染色方案选错：应该选择能让『不变性质』显现的染色方式。
× 多色染色时，颜色数量要选对（通常取模运算的模数）。
× 忘记说明『为什么这种染色能解决问题』。
奇偶染色怎么操作？
行号加列号，奇黑偶白（或反过来）。 相邻格子（上下左右）行号+列号的奇偶性一定不同 → 颜色不同。
国际象棋棋盘有多少黑格、多少白格？
提示：棋盘 $8 \times 8=64$ 格。奇偶染色后，黑格和白格数量相等吗？ 相等！$8 \times 8$ 棋盘，黑格 32 个，白格 32 个。 因为总格子数是偶数，且染色均匀。
马走日字，从黑格出发，走一步到什么颜色的格子？
提示：马走一步，(行+列) 的奇偶性改变吗？行变化$\pm2$、列变化$\pm1$（或反过来），总和变化是奇数。 马走一步，(行+列) 的奇偶性改变 → 到相反颜色的格子。 所以从黑格出发，走奇数步到白格，走偶数步回到黑格。
能不能用 $2 \times 1$ 的骨牌盖住整个 $8 \times 8$ 棋盘？
提示：$2 \times 1$ 骨牌每次盖住 1 黑 1 白。棋盘有 32 黑 32 白，刚好匹配吗？ 能！每次盖住 1 黑 1 白，32 块骨牌盖住 32 黑 32 白，刚好匹配。 但如果棋盘缺了两个同色的角（都黑），则黑30白32，无法完全覆盖（因为每块骨牌必须盖住 1 黑 1 白，黑格不够）。
Minecraft 里一个 $5 \times 5$ 的地图，从左上角到右下角（只能向右或向下走），路线经过的黑格和白格数量有什么规律？
提示：奇偶染色：左上角 (0,0) 是黑色（偶+偶=偶）。每走一步，颜色翻转。 从左上到右下，共走 8 步（4 右 + 4 下），到右下角时颜色翻转了 8 次（偶数次）→ 右下角和左上角同色。 路线上黑格和白格数量相等（各 5 个，因为共 9 个格点，起点终点同色）。
不是所有染色问题都用奇偶染色，对吗？
提示：什么时候用奇偶染色，什么时候用其他染色（如模3染色）？ 奇偶染色适合相邻格子互相排斥的问题（每步走到相邻格）。 如果问题是『每3格一循环』，则用模3染色（3种颜色）。 关键：染色要能让『不变性质』显现出来！
登录后可以在广场里打开这一库继续练习。
登录，解锁全部题目
闪狐 FlashFox